Ja. Das STS-Zeugnis ist EU-weit gültig und wird auch in Norwegen, Island, Liechtenstein und der Schweiz anerkannt.
Fliegst du im Ausland im Standardszenario? Deine Betriebserklärung gibst du in dem Land ab, in dem du als Betreiber registriert bist, also beim LBA. Eine neue Erklärung brauchst du im Ausland nicht. Du schickst der Luftfahrtbehörde des Einsatzlandes vorher eine Kopie deiner Erklärung und die Eingangsbestätigung des LBA. Vor Ort gelten die dortigen Geozonen und Vorgaben.
Rechtsgrundlage: DVO (EU) 2019/947, Art. 13 Abs. 3 (grenzüberschreitender Betrieb nach Betriebserklärung).
Prüfung aus dem Ausland? Die Online-Prüfung kannst du von überall machen: Kann ich die Online-Prüfung von jedem Land aus machen?
Mehr beim LBA: Cross-Border Operations